что же такое математический софизм

Применение математических софизмов на уроках математики

Разделы: Математика

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СОФИЗМ – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Трудно, изучая математику, не заинтересоваться математическими софизмами. В 2003 году в издательстве “Просвещение” вышла книга А.Г. Мадеры и Д.А.Мадеры “Математические софизмы”, в которой более восьмидесяти математических софизмов, по крупицам собранным из различных источников. Цитата из книги: “Математический софизм представляет собой, по существу, правдоподобное рассуждение, приводящее к неправдоподобному результату. Причем полученный результат может противоречить всем нашим представлениям, но найти ошибку в рассуждении зачастую не так-то просто; иной раз она может быть и довольно тонкой и глубокой. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений “безошибочных” задач. Эффектная демонстрация “доказательства” явно неверного результата, в чем и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и “закрепить” то или иное математическое правило или утверждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению.”

Математические софизмы в зависимости от содержания и “прячущейся” в них ошибке можно применять с различными целями на уроках математики при изучении различных тем.

Самыми популярными являются 1-3.

Часто применяя на уроках МС, я составила с помощью учеников на факультативных занятиях таблицу применения МС на уроках алгебры в7-8-[ классах (Приложение1). Это была интересная и познавательная для ребят работа, которая завершилась важным практическим результатом, которым можно воспользоваться при проведении урока.

В книге[1] представлена большая группа софизмов, которые можно применять при изучении темы “Свойства арифметического квадратного корня”, повторяя при этом темы “Преобразование многочленов”, “Формулы сокращённого умножения”.

“Все числа равны между собой”

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество:

а-2ab+b= b-2ab+ а

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим:

или 2а = 2b, или окончательно

“Единица равна двум”

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 + = 4-6+,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.

(1-)=(2-)

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:

1-=2-

откуда следует, что

Но все же самой популярной ошибкой в софизмах является “Деление на 0”. “Деление на нуль является одним из наиболее распространенных источников ошибок при проведении преобразований различных выражений и при решении уравнений. “Сокращение” уравнений на общий множитель зачастую приводит либо к потере корней уравнения, либо к приобретению посторонних корней, либо вообще к бессмыслице.” [1]

Предупредить ошибки подобного рода поможет рассмотрение софизмов. Например при изучении темы “Преобразования многочленов” в 7кл.

“Неравные числа равны.”

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-b = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим

a раскрыв скобки, придем к равенству

из которого следует равенство

Вынося общий множитель а слева, и общий множитель b справа за скобки, получим

Разделив последнее равенство на (а-b-с), получаем, что

другими словами, два неравных между собой произвольных числа а и b равны.

Разбор софизма: Здесь ошибка совершена при переходе от равенства (1) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, т. е. а-b = с, откуда а-b-с = 0. Можно записать равенство (1) в виде а-0= b-0. Переход от равенства (1) к равенству а = b осуществляется путем деления обеих частей (1) на равное нулю число а-b-с = 0. Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство а0 = b0 выполняется при любых а и b. Поэтому вывод, сделанный в софизме, что числа а и b равны, неверен.

Неоценимую помощь оказывают МС для более глубокого осмысления материала на уроках геометрии. Например, софизм, который можно использовать на уроке по теме “Окружность”, повторяя при этом тему “Признаки равенства треугольников”:

“В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру”

В произвольной окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению.

Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому

т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды.

В софизме доказывается, что два треугольника ABD и CDE равны, ссылаясь при этом на признак равенства треугольников по стороне и двум углам. Однако такого признака нет. Правильно сформулированный признак равенства треугольников гласит:

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассматривая МС на уроках геометрии можно в ненавязчивой форме подчеркнуть важность соответствия условия задачи и правильно построенного к ней чертежа или схемы.

Например, один из самых интересных софизмов:

“Окружность имеет два центра”

Через три точки D, E, F проводим окружность, что всегда возможно, так как эти три точки не лежат на одной прямой. Соединив точки Н и G (точки пересечения сторон угла ABC с окружностью) с точкой F, получим два вписанных в окружность прямых угла GDF и HEF.

Итак, мы получили две хорды GF и HF, на которые опираются вписанные в окружность прямые углы GDF и HEF. Но в окружности вписанный прямой угол всегда опирается на ее диаметр, следовательно, хорды GF и HF представляют собой два диаметра, имеющие общую точку F, лежащую на окружности.

Поскольку эти две хорды, являющиеся, как мы установили, диаметрами, не совпадают, то, следовательно, точки О и О₁₉ делящие отрезки GF и HF пополам, представляют собой не что иное, как два центра одной окружности.

Ошибка здесь кроется в неправильно построенном чертеже. На самом деле окружность, проведенная через точки Е, F и, обязательно пройдет через вершину В угла ABC, т. е. точки В, Е, F и D обязательно должны лежать на одной окружности. Тогда, конечно, никакого софизма не возникает.

Действительно, восстановив перпендикуляры в точках Е и D к прямым ВС и ВА соответственно и продолжив их до взаимного пересечения в точке F, получаем четырехугольник BEFD. У этого четырехугольника сумма двух его противоположных углов BEF и BDF равна 180°. Но согласно известному в геометрии утверждению вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна 180°.

Отсюда следует, что все вершины четырехугольника BEFD должны принадлежать одной окружности. Поэтому точки G и Н совпадут с точкой В и у окружности окажется, как и должно быть, один центр.

Очевидна и важность геометрических фактов, повторяемых во время разбора этого МС.

С большим интересом воспринимают МС ребята 5-6-х классов. Например МС, где нарушены правила действий с именованными величинами.

Один рубль не равен 100 копеек.

Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10 р=100000 коп, откуда следует:

Применение этого софизма является также пропедевтикой использования именованных величин при решении физических задач.

И, конечно, я всегда начинаю знакомить ребят с математическими софизмами, утверждая, что:

“Два умножить на два будет пять”

44=55,

вынесем за скобки слева 4, справа5

4(11)=5(11),

разделим левую и правую часть на (11), получим

Начиная с этого урока, ребята с нетерпением ждут новых МС.

Очень интересны МС древнегреческих философов-математиков Зенона, Прокла, Перрона. Они открывают обширное поле деятельности для исследовательских работ учащихся. В книге [1] представлены следующие “авторские” МС: парадокс Зенона “Ахиллес никогда не догонит черепаху”, софизм Прокла “Две непараллельные на плоскости прямые не пересекаются”, софизм Перрона “Единица есть наибольшее натуральное число”.

Хотелось бы рекомендовать коллегам использовать математические софизмы более разнообразно в своей практике. Это сделает изучение математики более увлекательным. Огромную помощь окажет им замечательная книга А.Г. Мадеры и Д.А.Мадеры “Математические софизмы”.

(В Приложении 2 содержаться тексты математических софизмов из таблицы Приложение1.)

Источник

Исследовательская работа по теме «Математические софизмы»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Администрация города Нижнего Новгорода

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

603124, город Нижний Новгород, улица Лесной городок, дом 6-а тел. 2218983

Выполнил: Мокрушенко Георгий

Научный руководитель: Грязева

«История ошибок человеческого ума,
возможно, так же важна,
как исто­рия его движения вперед к истине».

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел?

Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своей работе, название которой – «Математические софизмы: обман или путь к открытию?». Речь в ней пойдет о софизмах.

В процессе работы я выяснил, что существует великое множество софизмов, и с их помощью можно доказать практически что угодно: как равенство всех чисел между собой, так и то, что прямой угол равен тупому.

Теме софизмов посвящено много публикаций и книг, таких как, книга для учащихся 7-11 классов Мадера А.Г и Мадера Д.А. «Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям», книга Литцмана В. «Где ошибка?» и множество других замечательных авторов, среди которых не могу не упомянуть нашего земляка Михаила Андреевича Давыдова, который в своей книге «Красота математики» посвятил одну из глав математическим софизмам.

Цель моего исследования – понять, что такое математические софизмы, научиться их разгадывать. Для достижения данной цели передо мной стояли следующие задачи:

узнать, как и откуда появились софизмы

привести примеры софизмов

разобрать несколько примеров

понять, как найти ошибку в них

проведя разбор софизмов, сделать вывод

Определение софизма в различных толковых словарях и энциклопедиях подобны. Рассмотрим самые известные из них.

Софизм — логически порочное умозаключение, в котором ложные посылки выдаются за истинные или делается вывод с нарушением законов логики (Большая советская энциклопедия, том 40, стр.136).

Софизм — формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (Толковый словарь русского языка С. И. Ожегова).

Софизм — мудрствованье, ложный вывод, заключенье, сужденье, которому придан внешний вид истины. Софистическое рассуждение — ложное, ошибочное, под видом истинного (Толковый словарь В. И. Даля).

Софизм — формально правильное, но ложное по существу умозаключение, основанное на натяжке, на преднамеренно неправильном подборе исходных положений в цепи рассуждений (Толковый словарь русского языка Д. Н. Ушакова).

Таким образом, анализируя определения софизма из различных энциклопедий и толковых словарей, можно выделить основные существенные признаки:

это утверждение (умозаключение)

по существу — ложное

ошибка допущена и замаскирована намеренно.

Софизмы встречаются в различных областях знаний, но выделенные критерии всегда присутствуют. Поэтому определение математического софизма не будет существенно отличаться от всех вышеперечисленных. В математическом софизме замаскированная ошибка, в процессе вывода приводит к абсурдному результату, нарушающему все законы математики.

Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах скры­то выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям, «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

Софистика – направление философии, которое возникло в V-IV вв. до н.э. в Греции и стало очень популярным а Афинах. Софистами называли платных «учителей мудрости», которые учили граждан риторике, искусству слова, приемам ведения спора, красноречию. Одним из представителей софистов был философ Протагор, который говорил: «Я обучаю людей риторике, а это и есть гражданское искусство».

Софисты считали, что истина субъективна, то есть у каждого человека своя истина, человек сам создает себе истину и сам же её оценивает, поэтому в суждениях об истине очень много личного. Справедливость, как и истина, у каждого человека тоже своя, а значит, о каждой вещи можно судить двояко, то есть о каждой вещи есть два противоположных мнения. Софисты учили людей оценивать одно и то же событие, как положительное и как отрицательное одновременно, таким образом, они приучали людей к широте взглядов.

Первую систематизацию софизмов дал еще Аристотель в IV веке до нашей эры. Он разделил все ошибки на 2 класса «ошибки речи» и ошибки «вне речи», то есть в мышлении.

Софисты в своих рассуждениях использовали разные ошибки, такие как:

логические и ошибки в рассуждениях. Например: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено», «Все люди разумные существа, жители планет не люди, следовательно, они не разумные существа».

терминологические – неправильное употребление слов или построение предложения. Например, «Все углы треугольника = π» в смысле «Сумма углов треугольника = π», «Сколько будет: пять плюс два умножить на два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (т.е. 5 + (2*2)) или 14 (т.е. (5 + 2) * 2).

ошибки в применении формул. Например, «Чётное и нечётное»: 5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, так же, как и 2 + 3, значит, оба числа нечётные.

Источник

Что же такое математический софизм

«История ошибок человеческого ума,возможно, так же важна,как исто­рия его движения вперед к истине».

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. Большинство софизмов известно давно, их можно найти в различных книгах, журналах. Некоторые из них передаются из поколения в поколение. Я считаю, что данная тема невероятно актуальна в наше время, ведь применение софизмов на уроках математики, на мой взгляд, могло бы помочь ученикам в получении знаний, вызвать интерес одноклассников к предмету.

Мной была выдвинута гипотеза, состоящая в том, что познакомившись с подробным разбором ошибок в софизмах, учащиеся поймут, что неточные знания формулировок теорем, математических формул, правил и условий, при которых они выполняются, а так же неумение анализировать построение чертежа к геометрической задаче, может привести к получению абсурдных результатов, противоречащих общепринятым нормам.

Целью моего исследования является всесторонний анализ понятия «софизм», выяснение влияния софизмов на развитие логики, привлечение интереса учащихся к данной теме.

Занимаясь этой научно-исследовательской работой, я выясню: нужно ли изучать софизмы, а так же помогу учащимся 7-8 классов более подробно познакомить с один из разделов занимательной математики и постичь его тайны.

II. Понятие «софизм»

Софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но, тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами. Об этом подробнее в следующем разделе.

III. История софистики

Софисты (от греч. «софос»– мудрый) – представители интеллектуального течения в общественной и культурной жизни Древней Греции сер. 5–1-й пол. 4 вв. до н.э., платные преподаватели красноречия и различных знаний, считавшихся необходимыми для деятельного и успешного участия в гражданской жизни. Новая ориентация софистического движения по сравнению с досократиками состояла в исключительном интересе к человеку и обществу и почти полному игнорированию натурфилософской проблематики. Основные сочинения софистов до нас не дошли, об их взглядах можно судить главным образом по сочинениям их оппонентов – Платона и Аристотеля. К старшим софистам (2-я пол. 5 в. до н.э.) причисляют Протагора, Горгия, Гиппия, Продика, Антифонта, Крития. К следующему за ними поколению младших относят Ликофрона, Алкидаманта, Фрасимах

Свою главную педагогическую и просветительскую задачу софисты видели в воспитании «добродетели» и «умении хорошо говорить», что подразумевало знакомство с основами истории, права, теоретических дисциплин, т.е. математики и философии. При этом общей чертой их учений был релятивизм, нашедший классическое выражение в положении Протагора «человек – мера всех вещей»: в интерпретации Платона это означало отказ от критериев истинности, абсолютизацию любого частного мнения и оправдание интеллектуального произвола. Упрочению представления об отсутствии абсолютной истины и объективных ценностей способствовал широко применявшийся софистами метод сопоставления противоречивых гражданских норм и религиозных обрядов, господствовавших у различных народов. Важнейшую роль играло противопоставление природы и закона, где природа выполняла функцию элемента объективного и постоянного, а закон, установленный произволом людей, находящихся у власти, – элемента изменчивого и произвольного.

Много внимания софисты уделяли разработке приемов убедительности речи и разработке логики. Протагор сделал первые попытки систематизировать приемы умозаключения. Ликофрон анализировал роль связки «есть» в предложении. Протагор, согласно традиции, положил начало словесным состязаниям, в которых многие софисты прибегали к логическим передержкам и парадоксам, получившим уже в древности название «софизмов»; он же ввел в практику т.н. «двойные речи», когда практиковалось умение говорить «за» и «против» одного и того же тезиса. Горгий и другие софисты развили преподавание ораторского искусства, заложили основы науки о языке. Протагор занимался категориями словоизменения и синтаксисом предложения. Продик разработал основы учения о синонимах. В социально-политической области были сторонниками демократии и высказывали идеи равенства всех людей. Алкидамант заявлял, что «бог сделал всех свободными, природа никого не сделала рабом».

Софисты не были объединены институционально в рамках определенной «школы», их взгляды не отличались единством даже по основным вопросам. В то время как «аноним Ямвлиха» считал законы основой нормального существования людей, Антифонт объявлял государственные установления злом. Ликофрон отводил закону роль гаранта личных прав граждан, а Фрасимах, по Платону, утверждал, что правители везде навязывают гражданам выгодные для себя законы. Тем не менее, консолидация различных мыслителей вокруг определенного комплекса идей позволяет зафиксировать начало, а конец популярности того же комплекса идей позволяет определить завершающий момент истории движения. Вследствие усиления в Афинах консервативного умонастроения после поражения в Пелопоннесской войны, просветительский рационализм софизма потерял ту широкую социальную поддержку, которой пользовался в пору своего расцвета. Дальнейшее развитие многих идей, обсуждавшихся или только намеченных греческой софистикой, происходило в сократических школах, особенно в философских школах Платона и Аристотеля.

В наше время учёные продолжают обращаться к софизмам.

IV. Классификация ошибок.

Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах.

Учёные, занимающиеся изучением софизмов, делят все ошибки на 3 класса:

Логические – основанные на нарушении правил логики.

Терминологические – не точное, неясное для понимания или неправильное словоупотребление и построение фразы. Например: «сколько будет трижды два плюс два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду (3*2)+2 или 3*(2+2).

Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма: Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа» Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной» Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено» Особенно распространённая ошибка употребления среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые тела, бронза —металл: бронза — простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы.

Существует несколько классов терминологических ошибок:

Ошибка гомонимия. Например: реакция, в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор это как врач и как учёная степень.

Ошибка сложения — когда разделительному термину придается значение собирательного. Все углы треугольника больше 2 π в том смысле, что сумма меньше 2 π.

Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину дается значение разделительного: «все углы треугольника равны 2 π» в смысле «каждый угол равен сумме 2 прямых углов».

Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определенного слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.

Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: сколько будет: дважды два плюс пять? Здесь трудно решить имеется ли в виду 2*2+5=9 или 2*(2+5)=14.

Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения.

Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignava ratio). Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм: обозначим первые отрицательные качества через b, вторые соответствующие им положительные через а.

Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей.

При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой — императивный — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определенная мимика действуют неотразимым образом на лице, легко поддающихся внушению, особенно на массы, с другой стороны, пассивность слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой.

V. Математические софизмы

В математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Поиск ошибки в софизме ведет к ее пониманию и осознанию, а осознав ошибку, человек имеет больше шансов ее не допустить. Также, в истории развития математики софизмы способствовали повышению точности формулировок и более глубокому пониманию понятий математических дисциплин. В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т. е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

1)«Отрицательное число больше положительного». Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения: а/-с и –а/с.

Они равны, так как каждое из них равно – ( а/с ). Можно составить пропорцию: а/-с = –а/с.

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т. е. отрицательное число больше положительного.

(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).

2) «Всякое положительное число является отрицательным»

Пусть п — положительное число

Очевидно, 2п-1В·В, а вычитая из обеих его частей А·А, получим неравенство А∙В-А·А>В∙В-А·А, которое равносильно следующему:

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда

Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2)). Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А

Источник