что значит деление уголком
Деление в столбик
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Как правильно делить в столбик
Делить столбиком проще, чем высчитывать в уме. Этот способ наглядный, помогает держать во внимании каждый шаг и запомнить алгоритм, который впоследствии будет срабатывать автоматически.
Рассмотрим пример деления трехзначного числа на однозначное 322 : 7. Для начала определимся с терминами:
Шаг 1. Слева размещаем делимое 322, справа делитель 7, между ставим уголок, а частное посчитаем и запишем под делителем.
Шаг 2. Смотрим на делимое слева направо и находим ту часть, которая больше делителя. 3, 32 или 322? Нам подходит 32. Теперь нужно определить сколько раз наш делитель 7 содержится в числе 32. Похоже, что четыре раза.
Проверяем: 4 × 7 = 28, а 28
Шаг 3. Остаток равен 4. Для продолжения решения его нужно увеличить. Мы сделаем это за счет следующей цифры делимого. Приписываем к четверке оставшуюся двойку и продолжаем размышлять.
Шаг 4. Сколько раз делитель 7 содержится в числе 42? Кажется, шесть раз. Проверяем: 7 × 6 = 42, 42 = 42 — все верно. Записываем полученное число к четверке справа — это вторая цифра частного. Делаем вычитание в столбик 42 из 42, в остатке получаем 0. Значит, числа разделились нацело.
Мы закончили решать пример и в результате получили целое число 46.
Как выглядит деление в столбик с остатком
Это такое же деление, только в результате получается неровное число, как получилось в примере выше.
Примеры на деление в столбик
Давайте закрепим знания на практике. Для этого разделите столбиком примеры ниже, а после проверьте полученные цифры — чур, не подглядывать!
3.5. Деление «уголком»
Деление «уголком» — это, на мой взгляд, самая тяжелая, самая нудная тема во всей школьной математике. Тут нам придется всерьез поднапрячься. Пусть, однако, нас вдохновляет мысль, что весь последующий материал будет значительно легче и приятнее.
Прежде всего, рассмотрим деление на однозначное число. Допустим, мы хотим вычислить значение выражения
Пользуясь свойствами умножения, мы можем расписать делимое таким образом:
3 ∙ 2 ∙ 100 + 2 ∙ 2 ∙ 10 + 4 ∙ 2 =
( 3 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 4 ) ∙ 2 =
После этого становится очевидно, что частное от деления равно
Но это мы взяли самый что ни на есть простейший случай, когда каждую отдельно взятую цифру делимого можно поделить на делитель. А вот пример несколько посложнее:
Здесь первая цифра оказалась меньше делителя. Поэтому, расписывая делимое, мы не будем отрывать ее от второй цифры:
Поскольку число 15 не делится нацело на 2, придется нам прибегнуть к делению с остатком. Представим результат такого деления в виде:
Теперь мы можем продолжать расписывать наше делимое дальше:
Отсюда моментально получаем ответ:
Такого рода расчеты можно проводить в уме и сразу же писать ответ. Но мы сейчас перепишем их в виде краткой таблицы. Умение составлять такие таблицы нам пригодится, когда мы займемся делением на многозначные числа, когда всё окажется не так просто. Делимое и делитель запишем так:
При делении первых двух разрядов ( 15 ) на двойку получается 7 плюс еще какой-то остаток. С этим остатком мы разберемся чуть позже, а пока запишем семерку под чертой снизу от делителя (здесь у нас со временем будет выписан полный ответ):
Умножаем на эту семерку наш делитель ( 2 ) и записываем ответ ( 14 ) под первыми двумя разрядами делимого ( 15 ):
У нас уже всё подготовлено, чтобы выполнить это вычитание «столбиком»:
Ответ мы получили, однако правила составления таблицы таковы, что нам надо добавить в нее еще две строки. Мы должны формальным образом убедиться, что не потеряли остаток от деления. Умножаем делитель ( 2 ) на последнюю цифру ответа ( 8 ), приписываем результат ( 16 ) снизу к нашей таблице в последние два разряда делимого:
Вычитаем последнюю строку из предпоследней и получаем 0:
Этот последний нуль есть не что иное, как остаток от деления, который образовался бы в том случае, если бы мы рассматривали деление с остатком:
Чтобы получше это понять, возьмем похожий пример, в котором, однако, остаток не равен нулю:
Таблица для этого примера выглядит так:
Здесь, опять-таки, остаток стоит в последней строке. Для полноты картины распишем наше делимое в таком виде:
Теперь мы готовы к тому, чтобы делить (нацело или с остатком) на многозначные числа. Это делается при помощи подобной же таблицы (именно из-за ее особого вида данная процедура получила название деление «уголком»). Допустим, требуется выполнить деление с остатком:
Приступаем к заполнению таблицы:
В данном случае, чтобы найти первую цифру частного, надо взять первые четыре цифры делимого ( 1356 ) и получившееся число поделить (с остатком) на делитель ( 259 ). Почему надо взять именно первые четыре цифры делимого? Потому что если бы мы взяли хотя бы на одну цифру меньше, то получившееся число ( 135 ) оказалось бы меньше делителя ( 259 ), а это совсем не то, из чего можно было бы извечь полезную информацию. Итак, возьмем первые четыре цифры делимого и рассмотрим следующее деление с остатком:
Тут нам помогут приближенные вычисления, для которых, как мы знаем, вовсе необязательно, чтобы числа делились друг на друга нацело:
Зная результат приближенного деления, мы можем предположить, что, скорее всего,
1356 : 259 = 5 (остаток — пока неважно какой).
Деление в столбик.
Столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка, так и деление натуральных чисел с остатком.
Правила записи при делении столбиком.
Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой – так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.
Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида 
.
Например, если делимым является число 6105, а делителем 55, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:
Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:
Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.
Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком.
Как делить в столбик лучше всего объяснить на примере. Вычислить :
Для начала запишем делимое и делитель в столбик. Выглядеть это будет так:
Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8.
1. Определяем неполное частное. Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.
2. Берём 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого. 51 больше 8. Значит. это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).
После 51 стоит только одно цифра 2. Значит и добавляем в результат ещё одну точку.
3. Теперь, вспоминая таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение → 6 х 8 = 48 → записываем цифру 6 в частное:
Записываем 48 под 51 (если умножить 6 из частного на 8 из делителя, получим 48).
4. Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус). Вычтем по правилам вычитания в столбик 48 и под чертой запишем результат.
Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком).
В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.
Внимание! Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение более близкое, чем то, которое взяли мы.
5. Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается.
Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение → 8 x 4 = 32:
В остатке получился ноль. Значит, числа разделились нацело (без остатка). Если после последнего вычитания получается ноль, а цифр больше не осталось, то это остаток. Его дописываем к частному в скобках (например, 64(2) ).
Деление столбиком многозначных натуральных чисел.
Деление на натуральное многозначное число производится аналогично. При этом, в первое «промежуточное» делимое включается столько старших разрядов, чтобы оно получилось больше делителя.
Значит, 1976 : 26 = 76.
Если на каком-то шаге деления «промежуточное» делимое оказалось меньше делителя, то в частном записывается 0, а число из данного разряда переводится в следующий, более младший разряд.
Деление с десятичной дробью в частном.
Десятичные дроби онлайн. Перевод десятичных дробей в обычные и обычных дробей в десятичные.
Если натуральное число не делится нацело на однозначное натуральное число, можно продолжить поразрядное деление и получить в частном десятичную дробь.
Например, 64 разделим на 5.
Таким образом, если при делении натурального числа на натуральное однозначное или многозначное число получается остаток, то можно поставить в частном запятую, остаток перевести в единицы следующего, меньшего разряда и продолжать деление.
Урок 19 Бесплатно Основы деления
С детства нам приходится решать задачи, связанные с делением.
Хотим ли мы разделить с кем-то еду или же разделить лист бумаги на части, нам всегда приходится выполнять деление.
Сегодня вы узнаете, как математически определяется деление натуральных чисел, какие оно содержит в себе элементы.
Также мы разберем, как делить “уголком”, узнаем про то, что такое остаток, какие существуют способы его записи.
Важно будет понять, как записать деление в буквенном виде, узнать, как упростить процесс деления, применяя связанные с ним свойства.
А после мы применим все эти знания к решению уравнений и текстовых задач.
Основные определения
Представим, что по 3-м пачкам чая разложили поровну 75 пакетиков.
Сколько пакетиков чая будет в каждой коробке?
Для ответа на вопрос составим уравнение.
Пусть х— количество пакетиков чая в одной пачке.
Тогда в 3-х пачках будет лежать (\(\mathbf
Зная, что всего в 3-х пачках лежит 75 пакетиков, составим уравнение:
Известно, что только одно число при умножении на 3 даст 75, это число равняется 25-ти, значит, (\(\mathbf
Как мы видим, мы сделали некоторое действие, обратное умножению.
Запишем то, что мы сделали проще:
Рассмотрим еще несколько определений, которые необходимы в разговоре про деление.
Число, которое делят, называется делимым, что весьма логично, ведь его делят.
В примере выше это число 75, ведь именно его необходимо разделить.
Делителем называют то число, на которое делят.
В примере выше это число 3.
Название результата деления не столь очевидно, но его тоже надо знать.
Результат деления называется частным.
В примере выше это будет число 25, ведь именно это является результатом деления 25 на 3.
Так же, как произведением двух чисел может называться не только число, но и само выражение, частным также можно назвать выражение, состоящее из делимого, делителя и знака деления между ними.
То есть в примере выше частным можно назвать не только 25, но и выражение (\(\mathbf<75:3>\)).
Зная определение деления довольно легко проверить, правильно ли было выполнено действие.
Допустим, были известны делимое и делитель, далее было выполнено деление и получено некоторое частное.
Чтобы проверить, что частное получено верно, необходимо перемножить его и делитель.
Если получилось число, равное делимому, значит, в делении не было ошибок, в противном случае частное не удовлетворит определению и нужно будет искать ошибку.
Посмотрим на примерах.
Пример 1.
Проверим корректность выражения \(\mathbf<45:5=9>\).
Для начала, вспоминаем, что в этом выражении чем является.
Понимаем, что делимое- 45, делитель- 5, частное- 9.
Затем перемножаем частное и делитель:
Остается сравнить полученное число с делимым.
Значит, деление было выполнено верно.
Пример 2.
Проверим корректность выражения \(\mathbf<51:4=13>\).
В данном выражении делимое- 51, делитель- 4, частное- 13.
Перемножаем частное и делитель.
Как видно, полученное число не равно тому, что было определено как делимое.
Значит данное деление было выполнено неверно.
Выражение \(\mathbf<51:4=13>\) некорректно, так как содержит в себе неверное равенство.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Деление уголком
После того, как становится понятно определение деления, возникает вопрос, как же собственно выполнять деление, ведь каждый раз подбирать такое частное, чтобы произведение его и делителя сошлось с делимым, может отнимать много времени.
Тут на помощь может прийти деление столбиком или же калькулятор.
И если с калькулятором все понятно, достаточно ввести в него выражение и нажать кнопку подсчета, то в случае деления уголком есть о чем поговорить.
Немного забежав вперед, обозначим, что деление уголком дает больше информации, чем деление с помощью калькулятора.
Представим, что необходимо разделить число 99 на 9.
Можно представить, что сначала делиться 90 на 9, получается, что в числе 90 10 девяток.
Разделив 9 на 9 получим единицу, которая говорит о том, что в числе 9 содержится одна девятка.
Это значит, что если в числе 90 содержится 10 девяток, а в числе 9 одна девятка, значит, в числе 99 их будет \(\mathbf<10+1=11>\)
Таким образом, не деля непосредственно 99 на 9, можно получить результат, что \(\mathbf<99:9=11>\)
Примерно на таких идеях и строится деление уголком.
1) Определить, что является делимым, а что является делителем, записать их правильно расположив относительно черты
2) Выбрать число, которое необходимо разделить на делитель
Это число совпадает с началом делимого, причем является наименьшим таким началом, которое больше делителя
3) Определить, сколько раз делитель умещается в выбранном числе
4) Записать это количество раз в частное
5) Умножить на него делитель, вычесть произведение из выбранной части делимого
6) Повторять действия, пока часть делимого не будет выбрана до конца исходного делимого
При повторении каждый раз надо добавлять по одной цифре из исходного делимого.
Звучит довольно сложно, давайте смотреть на примерах.
Пример 1: разделим 224 на 4 применяя деление уголком.
1) Делимым является число 224, делителем- 4.
Делимое пишется слева от черты, делитель справа.
2) Выбираем число.
Есть три варианта чисел, которые являются началом числа 224, это числа 2, 22 и само число 224.
Необходимо выбрать такое число, которое будет больше делителя, то есть больше 4-х, из трех чисел, приведенных выше, такими являются два: 22 и 224.
Дальше необходимо выбрать из них наименьшее, таким будет число 22, значит, его и выбираем.
3) Определяем, сколько раз делитель помещается в выбранном числе.
В данном случае делитель будет помещаться в выбранном числе 5 раз, так как \(\mathbf<5\cdot4=20>\)
6 раз делитель встречаться не может, так как число \(\mathbf<6\cdot4=24>\) уже больше 22-х, а 4 раза не подходят, так как помещается больше, чем 4 делителя, а именно 5.
4) Делитель помещается в выбранном числе 5 раз, значит, пишем 5 в частное, которое располагается под чертой.
5) Вычитаем из выбранного числа произведение делителя и числа, которое записали в частное, то есть вычитаем из 22-х 20.
6) Так как исходное делимое еще не кончилось, дописываем к разности одну цифру из делимого.
1) Делимым становится число 24, делитель все тот же: число 4.
2) Это число уже является наименьшим началом себя, которое делится на 4, поэтому именно его и делим.
3) Число 4 6 раз помещается в число 24.
4) Пишем число 6 в частное.
5) Вычитаем из выбранного числа, то есть из 24-х, произведение числа, которое записали в частное и делителя, то есть 24, получаем 0 как разность.
6) Мы использовали все цифры из исходного делимого, значит, процесс деления закончен.
Частное записано под чертой.
Можно проверить себя, перемножив частное и делитель и сравнив полученное число с делимым.
Представим, что в какой-то момент еще не на последнем шаге в разности появляется ноль.
В данном случае абсолютно ничего не меняется.
Надо понимать, что если делитель помещается в выбранное число 0 раз, но это и можно записать в частное, а затем уже приписывать следующую цифру.
Пример 2: Разделим 1428 на 14.
1) Делимое- 1428, делитель- 14
2) Выбираем число 14, так как это наименьшее начало числа 1428, которое больше делителя (14-ти).
3) Число 14 помещается в число 14 один раз.
4) Записываем это в частное:
5) Вычитаем из выбранного числа произведение делителя и числа, которое только что записали в частное.
6) Добавляем цифру из делимого и продолжаем процесс.
Следующую группу шагов можно описать сразу.
Мы видим, что 14 помещается в число 2 только 0 раз, соответственно, надо записать в частное 0 и из 2-х вычесть тоже 0, так как произведение любого делителя на 0 будет равно нулю.
Теперь приписываем к 2 последнюю цифру и проделываем цикл снова.
Как видите, даже если в процессе появляется 0, это никак не меняет и не усложняет алгоритм.
Приведем еще несколько примеров без подробных пояснений. Будет полезно, если вы самостоятельно проследите действия, которые в них выполняются.
Пример 3:
Пример 4:
Пример 5:
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Остаток
Представим, что необходимо раздать 9 яблок 2-м людям поровну.
Мы можем дать каждому из них по 4 яблока, а еще одно яблоко останется, так как непонятно, кому его дать.
Таким образом, если 9 делить на 2, то останется 1, это число называется остатком, а процесс деления, когда появляется остаток, называется делением с остатком.
Это легче понять, если записать такое деление уголком:
Как видим, делимое записывается сверху слева от черты, в данном случае делимое- 9, делитель записывается сверху справа от черты, в данном случае делитель- 2.
Частное, как и раньше располагается под чертой под делителем, частным в данном случае будет число 4.
Также частное в делении с остатком называют неполным частным.
Остатком же является результат последней разности.
В данном случае остатком будет единица.
Про остаток нужно знать одно интересное свойство: остаток всегда меньше делителя.
Чтобы не запоминать это как аксиому, дадим некоторое объяснение.
Допустим, мы делим те же 9 яблок на 2-х человек и каждому дали по 3 яблока.
Тогда осталось еще 3 яблока.
Но это нельзя назвать остатком, ведь из этих трех яблок можно выделить 2 (по числу делителя) и раздать людям поровну.
И остаток тогда будет равен единице.
По сути если остаток выходит больше делителя, то из него выделяется делитель и число в частном увеличивается.
Рассмотрим еще одно несложное определение.
Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, также можно сказать, что делимое делится на делитель нацело.
Примеры такого деления были в прошлой главе, например, 1428 делится на 14 без остатка.
В делении уголком последняя разность была равна нулю.
Деление уголком само подсказывает, как найти делимое при делении с остатком.
Рассмотрим пример, разделим с остатком 35 на 8.
Из 35-ти (делимого) вычли 32 (делитель, умноженный на частное), и после этого остался остаток равный 3-м.
Значит, делимое равно сумме произведения делителя и частного с остатком.
Иногда бывает нужно записать деление с остатков одну строку, но писать через сумму не хочется.
Тогда можно записать остаток в скобках после неполного частного.
\(\mathbf<13:6=2>\) (ост. 1)
\(\mathbf<17:5=3>\) (ост. 2)
\(\mathbf<161:13=12>\) (ост. 5)
В случае если нужно будет посчитать исходное делимое, надо будет также домножить неполное частное на делитель и прибавить к полученному числу остаток, записанный рядом.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Свойства деления и их применение
Как и у любой другой математической сущности, у деления есть свойства, сейчас про них поговорим.
Но для начала стоит познакомится с буквенной записью деления, чтобы говорить про свойства было удобней.
Почти все также, как и в числовой записи: делимое стоит перед знаком деления, делитель же стоит после.
Но, как и в случае с произведением, частным называют не букву, к которой приравнивается выражение \(\mathbf
Как и раньше, за буквами может скрываться любое натуральное число.
Также если пишется какой-то свойство в буквенной записи, значит, эта же запись будет верна, какое бы число не подставить вместо букв (кроме случаев, когда отдельно обговариваются ограничения на числа).
Перейдем к самим свойствам.
Особняком идет известное утверждение на нуль делить нельзя.
В дальнейшем в курсе математики будут уточнения, появятся новые понятия, можно будет говорить о предположениях, чему равняется деление на нуль, но все это далеко впереди и не с натуральными числами.
Пока что факт, что на нуль делить нельзя, достаточно просто запомнить.
Представим, что нужно разделить 4 конфеты на 2-х человек, мы знаем, как это сделать. Теперь представим, что надо разделить те же 4 конфеты, но теперь всего один человек, тогда мы просто отдадим все конфеты ему.
1. При делении любого числа на 1 получается это же число.
И в буквенной записи: \(\mathbf
Заметим, что это же свойство верно и для нуля, в самом деле \(\mathbf<0:1=0>\)
Теперь представим, что надо разделить 5 конфет на 5 человек.
В таком случае каждому достанется по одной конфете.
Такой же результат будет, если делить 7 конфет на 7 человек, 33 конфеты на 33 ученика и так далее.
2. При делении любого числа на это же число получается единица.
Как вы можете догадаться, здесь нужно сделать поправку и сказать, что a не равно нулю, ведь делить на нуль нельзя.
Теперь представим, что надо на пять человек разделить 0 конфет.
В таком случае очевидно, что никому ничего не достанется.
3. При делении нуля на любое число получается нуль.
Опять же, при условии что деление возможно, то есть делитель не равен нулю.
Казалось бы, зачем нужны свойства, если можно просто подбирать множители и делить “уголком”.
Но свойства иногда помогают вычислять значения выражения, даже не доходя до непосредственно самих вычислений, а если до вычислений и приходится доходить, то это значительно их упрощает.
Например, требуется вычислить значение такого выражения:
Заметим, что после знака деления выражение в скобках равняется нулю: \(\mathbf<13-13=0>\)
А значит, деление невозможно и вычислить значение всего выражения не представляется возможным.
Или же надо найти значение выражения:
Зная порядок действий, начать стоит с выражения в скобках.
Но можно заметить, что выражение представляет из себя частное, а делимое равно нулю, следовательно и все выражение будет равно нулю.
Попрактикуемся в применении свойств в тесте:
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации